다변수 미적분학:: 2. 점, 선, 면

점, 선, 면. 이 세 가지는 모두 우리가 고등학교 때 배우고 올라온 것들이다.

우리는 수직선 위의 1차원 점, 좌표 평면 위의 2차원 점에 대해서 공부하고 특정한 함수의 그래프가 직선임을 알게 되었다.

그리고 지금 교육과정에서는 빠진 것으로 알지만 평면의 방정식 또한 공부했을 것이다,

 

이번 장에서는 그것을 간단하게 짚고 넘어가기만 할 것이다. 물론 다차원에서 말이다.

 

[점]

개별적인 원소로 이루어진 부분집합

 

[선]

한 점과 한 방향으로 결정되는 부분집합

벡터로 표현하면 매우 직관적이다.

[기하]를 배웠다면 다음과 같은 식이 익숙할 수도 있다.

 

벡터 표현 방식에서 각 성분 별로 방정식을 적은 뒤 t에 대해서 정리하면 위와 같은 식을 얻을 수 있다.

방향 벡터에 0인 성분이 있다면 등호로 연결되지 않고 따로 조건으로써 빠져나올 것이다. 

 

[면]

한 점과 두 개의 방향으로 결정되는 부분집합

위 식에서 벡터 b와 c는 평면 P를 span한다고 한다. (The plane P spanned by vector b and c)

이 표현은 전 장에서 평행 사변형을 정의하는 데도 썼다. (t와 s의 범위를 정해주어야 한다.)

본 벡터 표현식을 직선에서처럼 방정식으로 풀어낸다고 했을 때, 꽤 어렵다는 것을 알 수 있다.

 

이전 장에서 배운 외적을 기억하자.

벡터 n을 b와 c의 외적이라고 정의하자. (이 벡터를 법선 벡터라고 부른다.)

b와 c의  선형 결합으로 만들 수 있는 a를 지나는 평면은 결국 법선 벡터에 수직일 것이다.

달리 말해 평면 위의 모든 점은 법선 벡터와 내적을 취했을 때 0이 나올 것이다.

따라서, 3차원 공간인 경우에

로 정의할 수 있다.

표현이 더 간결해졌다.

본 벡터 식을 전개하면

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 또는 Ax+By+Cz+D=0 의 꼴이 된다. <= 이 표현은 나중에 미분을 하면서 다시 살펴볼 것이다.

 

 

[공간상의 거리]

우리는 직선과 직선 사이의 거리를 구헤볼 것이다.

 

먼저, 투영 벡터(정사영 벡터, Projection vector)라는 것을 정의하자.

벡터 a를 벡터 b에 정사영한다고 했을 때, 정사영한 벡터 p를 구하자.

벡터 p의 방향은 벡터 b와 같을 것이고 길이는 |a| cosθ일 것이다.

벡터 b의 방향 벡터를 u라고 하자.

방향 벡터의 길이는 1이므로 정사영 벡터는 u와 a의 내적만큼의 크기를 가지고 u와 같은 방향을 가진 벡터일 것이다.

따라서, a에 대한 b의 정사영 벡터는 다음과 같이 정의될 수 있다.

 

우리는 투영벡터의 크기로써 공간상의 거리를 정의할 수 있다.

 

직선 L2를 포함하면서 L1과 평행한 평면을 생각하자.

두 직선의 방향 벡터 a, b에 대해 n=axb라고 했을 때, 이 법선 벡터는 두 직선과 평면에 모두 수직이라는 것을 알 수 있다.

두 직선 사이의 거리만큼을 길이로 갖는 선분은 두 직선과 동시에 직교해야 하므로 벡터 n과 평행하다는 것을 알 수 있다.

 

두 직선 위에 임의의 한 점을 선택하고 잇는 벡터(v2-v1)를 생각하자.

이 벡터는 평면에 수직이면서 길이가 d인 벡터 x와 나머지 y, z로 분해 될 수 있다.

 

 

이제 이 정사영 벡터에 절댓값만 씌우면 우리가 원하는 직선 사이의 거리 d가 나온다.

따라서,

 

점과 평면 사이의 거리에서도 비슷하게 작용한다.

평면 위에 있지 않은 점은 위의 식을 만족하지 않으므로 분모에 들어가도 0이 아니다.

내적을 전개한 Ax+By+Cz+D = 0의 식에 거리를 잴 대상인 점을 대입한다.

(A, B, C)가 법선 벡터이므로 그것의 길이를 분자로 두면 위와 같은 식이 나온다.

이는 결국 정사영 벡터의 형태와 비슷하다.