일반물리I:: 2. 2-3차원 등가속도 운동

고등학교 물리I-II에 걸쳐 배우는 내용이므로 쉽게 설명하고 넘어간다.

1차원 운동은 물리I, 2차원은 물리II에서 배우고 3차원 운동은 배우지는 않지만 물리량의 성분이 하나 늘어난 것 뿐이다.

 

• 가속도, 속도, 변위는 서로 미분 및 적분 관계이다.

그래프가 주어져 있을 때 접선의 기울기(도함수)나 그래프 밑의 넓이를 구하여 물리량을 계산할 수 있다.

 

-평균 속도/가속도

고등학교 수학2에서 배우는 평균 변화율 얘기이다.

어느 구간이 주어져 있으면 구간 양 끝에서의 함숫값을 구하고 구간의 크기로 나눠주면 된다.

avg는 average(평균)을 뜻하고 f와 i는 각각 final, initial의 앞 글자이다.

굳이 이걸 정의하지 않고 사람마다 유동적으로 표현하는데 x_f와 x_i는 x_2, x_1으로 표현하기도 한다.

아니면 분자를 한꺼번에 Δx라 표현하거나.

가속도는 분자를 속도의 차이(증분)로 바꾸면 된다.

 

-순간 속도/가속도

고등학교 수학2에서 배우는 순간 변화율 얘기이다.

위의 식에서 시간 간격을 0으로 극한 취했을 때 나오는 값이다.

dx/dt ('디엑스 디티'라 읽는다.)로 표현할 수 있다. (라이프니츠의 기호)

가속도도 마찬가지로 dv/dt로 표현하며 변위를 두 번 미분한 값이니까 d²x/dt² 로도 표현할 수 있다.

 

• 중력 가속도

지구 중력에 대한 값이며 근사하여 9.8m/s² 로 나타낼 수 있다. (실제로는 이 뒤에 숫자가 더 붙고 지역마다 그 값이 달라지지만 큰 차이는 없으므로 이와 같이 계산한다.) 

• 기본 식

• 벡터

기본적인 벡터 연산은 생략한다.

우리는 unit vector(기저 벡터)를 정의할 수 있다.

좌표 평면이나 좌표 공간에서 각각의 축에 대응하는 벡터로 길이는 1이다.

위 사진처럼 ^(hat) 기호를 올려 표현할 수 있다.

i, j, k는 많은 경우에 hat 기호를 쓰지 않는 것 같다.

 

unit vector를 이용하여 벡터를 순서쌍 표현에서 하나의 식으로 표현할 수 있다.

ex)) (1, 2, -1) = i + 2j - k

 

벡터를 미분과 적분 연산자에 넣어줄 수도 있는데 어렵지 않다.

벡터를 기저로 표현한 식으로 대체하면 된다.

 

ex))

기저는 어떤 변수와도 관련되어 있지 않으므로 항상 상수 취급할 수 있다.

이 방법이나 고등학교 미적분을 배웠다면 순서쌍에서 각 성분을 미분하면 된다는 것을 배웠을 것이다.

 

적분에서는 적분 변수쪽에 벡터가 들어갈 수도 있다.

ex))

 

*벡터와 스칼라를 구분하는 것도 중요하다.*

예를 들어서, 고등학교 범위에서는 직접 언급하지 않지만 운동량과 충격량은 벡터이고 에너지는 스칼라이다.

벡터를 스칼라로 혼동하여선 안 되고 스칼라 또한 벡터로 혼동해서는 안 된다.

• Projectile Motion (포사체 운동) = 포물선 운동

물리II를 열심히 한 학생이라면 x, y 방향으로 모두 움직이는 포물선 운동이 왜 등가속도 운동인지 알고 있을 것이다.

물체의 운동을 x, y 축으로 각각 분해해서 생각하면 y축에만 중력 가속도가 작용하기 때문에 (공기 저항이 없다는 조건)

등가속도 운동인 것이다.

벡터 분해를 배우고 적용해 볼 수 있는 좋은 예시가 바로 포물선 운동이다.

위 그림처럼 물체의 속도를 각 축에 대해서 분해하여 이동 거리나 최대로 올라가는 높이 등을 구할 수 있다.

v_x = v_0x

v_y = v_0y - gt

이다.

처음 '속력'이 주어져 있다면 각 성분 속도를 삼각함수로 나타낼 수 있다.

고등학교 [물리II]에서 배운 포물선 운동 관련 식들은 직접 유도할 수 있어야 한다.

만약 x축으로도 가속도를 주고 싶으면 y축의 식과 비슷하게 구성하면 된다.

 

원운동은 다음 장에서 설명한다.