[참고 영상]
https://www.youtube.com/watch?v=wHshfKbTTcE
https://www.youtube.com/watch?v=Ej8oI2AnBUo
https://www.youtube.com/watch?v=CN4gXFWX7F4&list=PLqzQC3ciMPGDjjazDtOAi91bCGy_j3IWy&index=3
스칼라는 유치원 때부터 지겹도록 했을 테니 처음부터 다루지 않는다. (다룰 것도 거의 없다.)
스칼라는 수치 하나로 표현되는 물리량이라면 벡터는 수치 여러 개로 표현하는 물리량이다.
예를 들어 현실 세계에서는 어떤 물체의 위치를 3차원의 좌표 형태로 적을 수가 있다.
좀 더 심화되는 의미로는 스칼라는 기준계의 좌표축을 회전시켜도 변하지 않는 물리량이며 벡터는 좌표축 회전에 따라 달라지는 양이다.
우리는 앞선 문장을 고찰하기 위해서 배경 지식을 깔아 둘 필요가 있다.
기준계
물리 현상을 분석하기 위해서는 어떤 점을 기준으로 삼냐가 중요하다.
기준이 없다면 물체의 위치나 속도를 묘사할 수 있는 방법이 없기 때문이다.
원점과 기준이 되는 축(+, -), 스케일을 지정해 줘야만 물체가 원점으로부터 얼마나, 어느 방향으로 떨어져 있는지 묘사할 수 있다.
위 3가지 중 하나만 누락되어도 물체를 묘사하는 데에 문제가 생긴다.
원점을 지정하지 않으면 위치를 논할 수 없고 축을 지정하지 않으면 거리만 정의가 가능하기 때문에 물체의 위치를 그 거리를 반지름으로 하는 구에 해당하는 범위로 나타내어야 한다.
마찬가지로 m, cm 같은 스케일을 지정하지 않는다면 물체의 위치를 타인이 해석할 때 서로 다른 해석을 내놓게 될 수 있다.
이런 기준계는 물리 현상을 분석하는 사람이 마음대로 정할 수 있다.
물론, 어떻게 정하냐에 따라 계산의 편리함이 달라진다.
좌표계
벡터를 나타내는 방법이라고 표현할 수 있을 것 같다.
고등학교 때까지는 데카르트 좌표계라고 부르는 것만 다뤘지만 대학교 과정에서는 다양한 좌표계를 다루게 된다.
대표적으로 원통좌표계와 구면좌표계가 있다.
직각좌표계라고도 불리는 데카르트 좌표계는 벡터를 표현할 때 다음과 같은 방법을 사용한다.
P(x, y, z)에 대해
x: P에서 x축에 내린 수선의 발과 원점 사이의 변위
y: P에서 y축에 내린 수선의 발과 원점 사이의 변위
z: P에서 z축에 내린 수선의 발과 원점 사이의 변위
원통좌표계는 다음과 같은 방법을 사용한다.
P(r, θ, z)에 대해(r을 ρ로 표기하고 θ를 φ로 표기하기도 함)
r(ρ): P와 원점 사이의 거리
θ(φ): P에서 xy평면에 내린 수선의 발과 원점을 잇는 선분 l에 대해 l과 x축의 양의 방향 사이의 각도
z: P에서 z축에 내린 수선의 발과 원점 사이의 변위
구면좌표계는 다음과 같은 방법을 사용한다.
P(r, θ, φ)에 대해(r은 ρ로 표기, θ와 φ는 바꿔서 표기하기도 함)
r(ρ): P와 원점 사이의 거리
θ(φ): P에서 xy평면에 내린 수선의 발과 원점을 잇는 선분 l에 대해 l과 x축의 양의 방향 사이의 각도
φ(θ): P와 원점을 잇는 선분 l에 대해 l과 z축의 양의 방향 사이의 각도
세 좌표계 모두 기준계를 기준으로 좌표를 정의하고 있다는 것을 알 수 있다.
또한 세 좌표계가 모두 서로 직각인 기저를 가지고 있기 때문에 직교 좌표계(Otrhogonal coordinates)에 속한다.
원통좌표계에서는 r, θ, z 기저를 다음과 같이 정의한다.
r기저: 원점에서 P를 잇는 방향
θ기저: θ가 증가하는 쪽으로 r을 반지름으로 하는 원에 tangential한 방향
z기저: 직각 좌표계와 동일
구면좌표계도 비슷하게 정의한다.
추가적으로 원통 좌표계나 구면 좌표계뿐만 아니라 다른 선형변환을 통해 생성된 기저를 포함하는 좌표계도 생각해 볼 수 있다. (선형변환이 행렬과 같은 의미라는 것은 선형대수학에서 설명하겠지만 지금은 이 정도만 알고 있어도 된다.)
ex) 2차원에서 다음과 같은 선형변환으로 생성된 기저는 직각좌표계를 기준으로 (2, 1)과 (1, -1)이다.
이 경우에는 해당 좌표계는 더 이상 직교 좌표계가 아니다.
간단하게 2차원 직각좌표계의 좌표축을 반시계방향(CCW)로 θ만큼 회전한 경우를 생각해보자. (좌표계 변환 행렬의 증명은 이 글에서 다루지 않는다.)
F와 G, F'와 G'을 각각 좌표축을 회전하기 전의 벡터 F와 G, 좌표축을 회전한 후의 벡터 F와 G의 좌표라고 하자.
벡터의 좌표는 회전한 각도에 따라 변하지만
두 벡터의 내적은 스칼라이므로 좌표계를 회전해도 그 값은 일정하다는 것을 알 수 있다.
좌표축의 회전에 따라서 벡터의 좌표가 바뀌지언정 원래의 기준계에 대해서는 그 값이같다.
우리가 스칼라가 일정하다는 것을 보일 때 이용한 좌표계는 회전에 따라서 기저가 달라지게 되지만 변환된 기저는 기준계에 해당하는 기저로 나타낼 수 있다.
이때 값을 다시 계산하면 두 벡터 F, F'가 기준계의 기저에 대해 같은 성분을 가지고 있다는 것을 알 수 있다. (직접 해보아라)
벡터끼리의 곱셈 연산을 보자.
지금까지 배운 것으로는 크게 두 가지로 나뉘며 각각을 스칼라곱(·), 벡터곱(⨉)으로 명명한다.
계산과 계산의 결과가 무엇을 의미하는지는 공대에서 한 학기 이상 보냈다면 충분히 공부됐을 것이라고 생각한다.
우리는 위 두 곱 연산 말고 Dyadic product 혹은 dyad product라고 불리는 연산을 하나 더 정의한다.
외적 연산처럼 기저가 결과에 포함된 형태로 나오는데 잘 보면 기저끼리의 곱이 스칼라곱이나 벡터곱이 아닌 dyadic으로 나타난다.
스칼라는 방향이 없고 벡터는 하나의 방향을 가지고 있으며 Dyad는 2개의 방향을 가진 것으로 간주할 수 있다.
3개, 4개, ...의 방향을 가진 값 또한 존재한다. (이때는 이름을 Triad, Tetrad 등으로 붙인다.)
결과를 우리는 Dyad라고 하고 행렬과 같은 모양으로 나타낼 수 있다.
Einstein summation에 따라서 다음과 같이 표현할 수 있다. (단순히 표현 방식에 관한 규약인 듯)
외적도 본 규약과 레비치비타 기호를 이용하여 표현할 수 있다.