가우스 소거법
어떤 system을 풀기 위해서 해에는 어떠한 변화도 주지 않고, 변환을 이용하여 더 보기 좋게 만드는 방법을 말한다.
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%EB%B3%B8%ED%96%89%EB%A0%AC
기본행렬 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
위키백과, 우리 모두의 백과사전. 수학에서 기본 행렬(elementary matrix, En)은 nxn 크기의 단위행렬(In)에서 기본행연산(elementary row operation)을 한 번 실행하여 얻어지는 행렬이다. 또한 기본행연산의
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기본행렬에 대해서 언급하고 넘어가면 좋다.
행과 열의 크기가 똑같은 행렬을 정사각행렬이라고 하고 이때 첫 번째 원소부터 오른쪽 아래로 대각선으로 그어지는 원소를 대각성분이라고 한다.
이 대각성분이 모두 1이고 나머지 원소들이 0인 행렬을 단위행렬이라고 한다.
아무튼 이런 꼴의 단위행렬을 기본행연산을 한 번만 이용해 변환시킨 것을 기본행렬이라고 한다.
그럼 기본행연산이란게 뭘까?
기본행연산
다음과 같은 과정을 기본행연산이라고 한다.
- 두 행끼리 교환하는 작업
- 한 행의 원소를 스칼라곱하는 작업
- 2에 해당하는 행을 다른 행에 더하는 작업
기호로 나타낼 수 있는데 책마다 다르지만 필자는 다음 표현을 사용한다.
Augmented Matrix
위와 같은 시스템을 행렬로 나타낼 수 있다.
우리가 연립방정식을 써서 푸는 것처럼 풀다 보면 변수를 매식마다 써줘야 하는 게 매우 귀찮은 과정이지 않을까?
Augmented matrix의 형태로 식을 더 간단히 표현할 수 있다.
작대기를 기준으로 왼쪽에 있는 행렬은 Coefficient 행렬이라고 하며 전체(2*4)는 Augmented 행렬이라고 한다.
Row-Echelon Form
우리말로는 행사다리꼴 행렬이라고 한다.
몇 가지 조건을 만족하면 대충 삼각형 남짓 사다리꼴처럼 생겨서 이런 이름이 붙은 것 같다.
조건
- 원소가 모두 0인 행은 반드시 밑에 위치해야 한다.
- Leading entry(왼쪽부터 읽었을 때 처음으로 0이 아닌 원소)는 윗 행의 leading entry보다 반드시 오른쪽에 있어야 한다.
Leading entry는 pivot이라고도 하는데 pivot의 값은 굳이 1이 아니어도 된다.
pivot의 값이 모두 1인 echelon matrix는 기약 행사다리꼴 행렬(Reduced REF)라고 한다. (이하 RREF)
어떤 행렬의 RREF는 하나만 존재하는데 이와 관련된 증명이 있지 않을까 싶다.
그림으로 나타내면 이런 느낌.
다시 돌아와서 가우스 소거법은 augmented 행렬을 기본행연산을 이용해 REF로 바꿔서 방정식을 푸는 기법이다.
REF로 나타내는 이유는 우리가 연립 방정식을 푸는 방식을 떠올려보면 느낌이 올 것이다.
Augmented 행렬 자체에 기본 행연산을 도입해도 되지만 조금 확장해서 생각하면 기본행렬을 곱하는 것으로 볼 수 있다.
아까 예시로 들었던 행렬에 기본행연산(E_21(2/3))을 행한 뒤이다.
한 번의 기본행연산으로 얻은 행렬을 양변에 똑같이 곱했을 때 같은 결과가 얻어진다.
계수의 원소가 모두 0인 부분은 시스템의 해의 존재성을 결정한다.
지금은 안 배우는 용어일텐데 부정(Indeterminate)과 불능(Impossible)의 표현을 쓰면
당연하게 받아들이면 된다.
0x+0y+0z=0의 해는 x, y, z에 어떤 값이 들어가도 성립하고
0x+0y+0z=k (≠0)의 해는 없다는 것은 당연하다.
중고등학교와 또 다른 것은 변수에 들어갈 수 있는 값이 무수히 많아도 들어갈 수만 있다면 해가 있다고 말할 수 있다.
(Unique한 해든 infinite한 해든 해가 존재하기만 하다면 그 시스템은 consistent system이라고 부른다.)
가우스-조던 소거법
가우스 소거법이 행렬을 REF로 만들어서 푸는 거라면 가우스 조던 소거법은 RREF로 만들어서 푸는 것 뿐이다.