일반물리I:: 3. 힘과 뉴턴 운동 법칙
물리학에서는 어떤 현상을 하나의 계(System)로 간주하여 운동을 분석한다.
boundary를 지정해 일정한 질량들을 묶을 수 있다면 그것을 계라고 한다.
boundary 내에서는 질량의 총량이 보존된다.
계를 하나 잡으면 계의 밖에 있는 현상들은 모두 무시한다.
힘은 물체의 방향, 속도, 모양 등을 변화시키는 상호작용으로 정의된다.
일반물리의 거의 모든 경우에서 계를 이루는 물체들은 강체(Rigidbody)라고 가정한다.
이런 가정이 문제 상황을 더 간단히 분석할 수 있게 해 주기 때문이다.
강체는 기본적으로 그를 구성하는 입자 사이의 상대적 위치가 고정되어 있다.
즉, 어떠한 변형도 하지 않는다.
[뉴턴 운동 법칙]
- 물체에 힘이 작용하지 않는다면 물체의 속도는 바뀌지 않는다; 물체는 가속될 수 없다.
- 물체에 작용하는 총힘은 질량과 가속도의 곱과 같다. (F = ma)
- 두 물체가 상호작용하면 서로에게 힘을 가한다.
질량은 힘을 방해하는 물체의 저항으로 기술할 수 있다. (후에 회전 운동을 하면서 다시 상기할 것이다.)
따라서, 두 물체에 같은 힘이 작용하면 질량이 더 큰 물체가 가속을 적게 하게 된다.
F = ma에서 F와 a는 벡터이므로 특정 성분으로 분해할 수 있다. 예를 들면 x, y, z 축 성분에 대해 분해하는 것처럼 말이다.
그리고 중첩 원리(Principle of superposition)에 의해서 물체에 작용하는 여러 힘에 대한 가속도의 합은 합력에 대한 가속도와 같다.
계를 분석할 때 Free Body Diagram이라는 것을 그려서 물체의 운동을 파악하기도 한다. (라그랑주 역학, 해밀턴 역학으로 가면 힘이 아닌 다른 방식으로 분석한다.)
물체를 간소화하고 물체에 작용하는 모든 힘을 벡터로 나타내는 것을 free body diagram이라고 하며, 좌표축, 물체의 위치와 힘의 작용점, 힘의 벡터와 기준점으로부터의 각도 등을 포함한다.
계에서 힘은 external force(외력)와 internal force로 나뉜다.
계에 포함하지 않은 요소 때문에 발생한 힘을 external force라고 하고
계에 있는 물체끼리의 상호작용을 internal force라고 한다.
Free body diagram에서는 internal force를 나타내지 않는다.
물체 A가 물체 B에게 준 힘은 F_AB로 표현한다.
[수직항력]
물체가 게임처럼 바닥을 관통하고 사라질 일은 없으므로 적절한 수직항력을 설정해줘야 한다.
예를 들어, 경사로에서는 삼각함수를 이용한다.
- 수직항력은 왜 생기는가?
우주의 물체들은 원자로 이루어져 있다. 물체에 속한 원자들은 서로와 강하게 결합하고 있기 때문에 아주 강력한 힘이 아니라면 이 결합을 깰 수가 없을 것이다.
물체가 접촉하면 접촉할수록 서로에게 주는 척력과 인력이 균형을 이루어 물체가 위치한 공간을 침범할 수 없다.
[마찰력]
마찰이 있는 표면에서 물체를 부드럽게 이동(slide)시켰을 때, 이동의 반대 방향으로 마찰력이 발생한다.
마찰력은 정지 마찰력, 운동 마찰력 두 가지 종류가 있다.
최대 정지 마찰력을 넘어서는 힘이 작용해야 물체가 움직일 수 있고 그 이후에는 좀 더 작은 힘이 들어가도 지속적으로 운동을 한다.
위 그림에서 N은 수직항력이고 μ_s와 μ_k는 각각 정지 마찰 계수와 운동 마찰 계수이다.
- 마찰력은 왜 생기는가?
현실 세계 물체들의 표면은 그림처럼 울퉁불퉁하기 때문에 작은 굴곡끼리의 충돌이나 접착이 발생한다.
그래서 이 상호작용을 파괴할 수 있는 힘이 필요한 것이다.
물체가 얼마나 세게 접촉해 있냐가 관건이기 때문에 수직항력이 마찰력의 요소로 들어가게 된다.
정지 마찰력 보다 운동 마찰력이 작은 이유는 다음 그림으로 이해가 될 것이다.
작은 Bump들이 온전히 맞닿지 않는 것을 볼 수 있다.
마찰력이 근본적으로 어떻게 구해지는 지도 찾아보았는데 대부분이 통계적인 값이었다. (물리와 화학은 통계적인 양상으로 식을 만들어 놓은 것이 많다.)
좀 헷갈릴 수도 있는 문제를 풀어보자.
- 물체 A가 마찰이 있는 수평면 위에 정지하고 있으며 물체 B는 물체 A의 수평한 윗면에서 정지하고 있다. 물체끼리의 정지 마찰 계수와 물체 A와 바닥 사이의 정지 마찰 계수는 모두 μ_s이고 물체 A의 질량을 m_A, 물체 B의 질량을 m_B라 하자. 물체 A를 수평으로 잡아당겼을 때, 물체 A가 물체 B 아래에서 벗어날 수 있는 최소의 힘을 구하시오.
A와 B 사이에는 마찰력이 작용하고 있다. A는 결과적으로 왼쪽으로 이동하므로 A에 작용하는 마찰력은 그의 반대 방향인 오른쪽일 것이다.
뉴턴 제3법칙에 의해 B에는 A에 작용하는 마찰력과 크기가 같은 힘이 반대 방향으로 작용할 것이다. (물체 표면의 굴곡으로 인해서)
A, B가 모두 정지한 상태에서 A가 움직이기 위해서는 A와 바닥 사이의 최대 정치 마찰력을 이겨내야 하므로
이고, 물체 B 밑에서 물체 A가 빠져나오기 위해서는 두 물체 사이의 최대 정지 마찰력을 이겨내야 한다. (마찰력을 이겨내지 못한다면 A와 B가 접촉한 상태로 움직인다.)
따라서, 합력은
이 된다.
[장력]
- 장력은 왜 생기는가?
분자 간 인력으로 인해 발생한다.
위와 같이 물체에 달린 끈을 잡아당기는 경우를 생각하자.
한쪽을 잡아당기면 원자 사이의 간격이 벌어지게 되고 그 옆의 원자는 강한 인력을 느끼게 된다.
위 그래프에 나와있는 것처럼 원자가 평형을 이루며 가만히 있을 때보다 살짝 멀어졌을 때 강한 인력(음의 에너지 부분)을 느낀다.
이 에너지를 넘어서는 외력이 끈에 작용한다면 끈은 당기는 도중에 끊어질 것이다.
붙어있는 원자부터 차례로 인력을 느끼면서 (실제로는 동시에 힘을 느낀다고 알고 있다.)
물체에게도 그 힘이 전달될 것이다.
어떤 상황에 팽팽한 줄이 놓여있다고 하면 그 줄의 양쪽 끝에는 같은 힘이 작용한다.
(실제 실을 양쪽에서 잡아당기면 팽팽해지는 것을 느낄 수 있다.)
줄을 구성하는 분자의 상호작용이 평형을 이루어야 줄을 구성하는 분자들의 상대적 위치가 변하지 않을 것이다.
결국 팽팽한 줄의 양 끝에는 같은 힘이 작용한다고 봐도 무방하다.
이는 줄의 어느 점을 잡아도 그곳에 작용하는 힘이 같다는 말과 일맥상통한다.
줄을 잡아당기면 줄의 끝 분자에는 줄이 팽팽하게 유지되기 위한 힘이 물체 방향으로 작용한다.
물체와 줄이 떨어지지 않는다고 한다면 물체도 같은 크기의 힘을 받아야 할 것이다.
현실 세계에서는 물체에 끈을 달고 팽팽하게 만든다면 물체가 항상 끌려오는 것은 아니지만 이상적으로 마찰력이 없는 상황을 가정한다면 끈에 힘을 가하는 즉시 물체가 딸려올 것이다.
이렇게 물체가 움직이게 되면 줄의 위치 또한 변하여 최종적으로는 끈과 물체가 같이 움직이게 된다.
우리는 문제에서 주어지는 장력을 그 근원을 파악하여 정확히 구할 수 없다.
수직항력처럼 조건에 맞춘 적절한 힘을 설정해줘야 할 뿐이다.
다음과 같이 두 물체 사이를 끈으로 연결하고 한쪽에 다른 끈을 달아서 힘을 가하는 상황을 가정하자.
첫 번째 물체는 끈에 작용하는 외력과 크기가 같은 힘을 받게 될 것이다.
하지만, 물체 사이에서 팽팽하게 놓여진 끈이 일종의 저지력을 가하고 있다.
팽팽하게 놓여진 끈은 분자들의 상대적인 위치가 일정하므로 강체로 취급할 수 있다.
더군다나 이상적인 상황이라면 질량이 0이므로 상황은 다음과 같이 간단화할 수 있다.
결국 두 물체의 질량을 더한 만큼의 질량을 가지고 있는 물체를 끈을 이용해서 당기는 문제로 치환된다.
두 물체는 동일한 가속도를 지닌다.
첫 번째 물체에는 외력과 장력, 두 번째 물체에는 장력만이 작용하고 있다.
우리는 동일한 가속도를 가졌다는 것을 이용해 장력을 구할 수 있다.